Question

【題目】已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和為4.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知直線和的傾斜角均為，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相交于， 兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與曲線是交于， 兩點(diǎn)，求證：對(duì)任意， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡E是以定點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓，且，從而得方程；

（Ⅱ）由題設(shè)可設(shè)直線的參數(shù)方程分別為； ，將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得： ； ，由和，從而由韋達(dá)定理求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）解： 則根據(jù)橢圓的定義得：動(dòng)點(diǎn)的軌跡E是以定點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓，且，

，

可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程為．

（Ⅱ）證明：由題設(shè)可設(shè)直線的參數(shù)方程分別為

； ．

將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得：

； ．

則由參數(shù)t的幾何意義、根與系數(shù)的關(guān)系及橢圓的對(duì)稱性有：

；

，

故．