Question

設f（x）=lnx．
（1）設F(x)=f(x+2)-

2x

x+1

，求F（x）的單調區間；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4對任意a∈[-1，1]，x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx．F(x)=f(x+2)-

2x

x+1

，可得F（x）的解析式，及定義域，利用導數法，分別判斷F'（x）在各個區間上的符號，即可得到F（x）的單調區間；
（2）根據對數函數f（x）=lnx的單調性，可將不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4化為ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²+3am+4，即ln

x+1

2x+1

≤3ma+4-m2，求出y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值為0，結合一次函數的性質，可以構造關于m的不等式組，解不等式組可得m的取值范圍．

解答：解：（1）F(x)=ln(x+2)-

2x

x+1

，定義域為：（-2，-1）∪（-1，+∞）.F′(x)=

1

x+2

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x+2

-

2

(x+1)2

=

(x+1)2-2(x+2)

(x+2)(x+1)2

=

x2-3

(x+2)(x+1)2

．
令F'（x）＞0，得單調增區間（-2，-

3

)和(

3

，+∞），
令F'（x）＜0，得單調增區間(-

3

，-1）和（-1，

3

)．
（2）等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4化為ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²+3am+4，ln

x+1

2x+1

≤3ma+4-m2．
現在只需求y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值和y=3ma+4-m²（a∈[-1，1]）的最小值.

x+1

2x+1

=

1

2

+

1

2(2x+1)

在[0，1]上單調遞減，所以y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值為0．
而y=3ma+4-m²（a∈[-1，1]）是關于a的一次函數，
故其最小值只能在x=-1或x=1處取得于是得到

m2+3m-4≤0 m2-3m-4≤0

，

-4≤m≤1 -1≤m≤4

，
所以m的取值范圍是：[-1，1]．

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，其中熟練掌握導函數值符號與原函數單調性的關系，是解答本題的關鍵．