Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

cos2x-1．
（1）若存在x0∈(0，

π

3

)，使f（x₀）=1，求x₀的值；
（2）設(shè)條件p：x∈[

π

6

，

5π

6

]，條件q：-3＜f(x)-m＜

3

，若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用降冪公式與輔助角公式可將f（x）化簡為：f（x）=2sin（2x+

π

3

），由f（x₀）=1，x₀∈（0，

π

3

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得x₀的值；
（2）p是q的充分條件，則當x∈[

π

6

，

5π

6

]時，-3＜f（x）-m＜

3

恒成立，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）=2sin（2x+

π

3

）∈[-2，

3

]，從而可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=1-cos（

π

2

+2x）+

3

cos2x-1
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）…（3分）
令f（x₀）=1，則2sin（2x₀+

π

3

）=1，即sin（2x₀+

π

3

）=

1

2

，…（4分）
因為x₀∈（0，

π

3

），則2x₀+

π

3

∈（

π

3

，π），
所以2x₀+

π

3

=

5π

6

，解得x₀=

π

4

．…（6分）
（2）因為p是q的充分條件，則當x∈[

π

6

，

5π

6

]時，
-3＜f（x）-m＜

3

恒成立，
即m-3＜f（x）＜

3

+m恒成立，
所以m-3＜f（x）_min，且m+

3

＞f（x）_max．…（8分）
當x∈[

π

6

，

5π

6

]時，2x+

π

3

∈[

2π

3

，2π]，從而sin（2x+

π

3

）∈[-1，

3

2

]，
所以f（x）=2sin（2x+

π

3

）∈[-2，

3

]．…（10分）
由

m-3＜-2 m+ 3 ＞ 3

解得0＜m＜1．
故m 的取值范圍是（0，1）．…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，突出正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值的考查，屬于中檔題．