Question

已知R上的連續函數g（x）滿足：
①當x＞0時，g′（x）＞0恒成立（g′（x）為函數g（x）的導函數）；
②對任意x∈R都有g（x）=g（-x）．又函數f（x）滿足：對任意的x∈R都有f(

3

+x)=-f(x)成立，當x∈[-

3

，

3

]時，f（x）=x³-3x．若關于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、a≥1或a≤0
• B、0≤a≤1
• C、-

  1

  2

  -

  3

  4

  3

  ≤a≤-

  1

  2

  +

  3

  4

  3

  ?
• D、a∈R

Answer 1

分析：由于函數g（x）滿足：①當x＞0時，g'（x）＞0恒成立（g'（x）為函數g（x）的導函數）；②對任意x∈R都有g（x）=g（-x），這說明函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，只要使得|f（x）|在定義域內的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答：解：因為函數g（x）滿足：當x＞0時，g'（x）＞0恒成立且對任意x∈R都有g（x）=g（-x），則函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立?|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，只要使得定義域內|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，由于當x∈[-

3

，

3

]時，f（x）=x³-3x，
求導得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），該函數過點（-

3

，0)，（0，0），（

3

，0)，
且函數在x=-1處取得極大值f（-1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=-2，又由于對任意的x∈R都有f(

3

+x)=-f(x)?f(2

3

+x)=-f(

3

+x)=f(x)成立，則函數f（x）為周期函數且周期為T=2

3

，所以函數f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值為2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故選A

點評：此題考查了利用導函數求得函數在定義域上為單調遞增函數，還考查了函數的周期的定義，及利用周期可以求得當x∈[-

3

，

3

]時，f（x）=x³-3x，的值域為[-2，2]，還考查了函數恒成立．