Question

已知點B（5，0）和點C（-5，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k₁，直線m的斜率為k_2：
（Ⅰ）如果k₁•k₂=

16

25

，求點A的軌跡方程；
（Ⅱ）如果k₁•k₂=a，其中a≠0，求點A的軌跡方程，并根據a的取值討論此軌跡是何種曲線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點A（x，y），用x，y表示 k₁和k₂ ，利用 k₁•k₂=

16

25

，建立關于x，y的方程．
（Ⅱ） 用x，y表示 k₁和k₂ ，k₁•k₂=a，建立關于x，y的方程并進行化簡，討論a的取值范圍，確定軌跡所代表的曲線．

解答：解：（Ⅰ）設點A（x，y），則 k₁=

y-0

x-5

，k₂=

y-0

x+5

，由 k₁•k₂=

16

25

，得

y

x-5

•

y

x+5

=

16

25

，
即

x2

25

-

y2

16

=1（y≠0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 k₁=

y-0

x-5

，k₂=

y-0

x+5

，代入 k₁•k₂=a可得； 

y

x-5

•

y

x+5

=a，即

x2

25

-

y2

25a

=1（y≠0）．
①當a＞0，表示雙曲線，去掉（5，0），（-5，0）兩點．
②當-1＜a＜0，表示焦點在x軸上的橢圓．
③當 a=-1，表示圓．
④當a＜-1，表示焦點在y軸的橢圓．

點評：本題考查求點的軌跡方程的方法，以及由軌跡方程判斷軌跡所代表的曲線，體現了分類討論的數學思想．