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(2011•上海模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知焦距為4的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的左、右頂點分別為A、B,橢圓C的右焦點為F,過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S,若線段RS的長為
10
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C上存在兩個不同的點關(guān)于直線l:y=9x+m對稱,求實數(shù)m的取值范圍.
(3)若P為橢圓C在第一象限的動點,過點P作圓x2+y2=5的兩條切線PA、PB,切點為A、B,直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N,求△MON(O為坐標(biāo)原點)面積的最小值.
分析:(1)由題意得,c=2,故a2-b2=4,又橢圓過點(2,
5
3
),代入橢圓方程,列方程求解a,b即可求橢圓C的方程;
(2)設(shè)D、E是橢圓C上關(guān)于l:y=9x+m對稱的點,設(shè)直線DE的方程為y=-
1
9
x+n
;聯(lián)立直線DE的方程與橢圓方程,根據(jù)判別式大于0求出n的范圍;再結(jié)合D,E的中點在直線l上得到m和n的關(guān)系,即可求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)出P,A,B的坐標(biāo).得到直線PA與直線PB的方程,進而得到直線AB的方程,求出點M、N的坐標(biāo),表示出△MON的面積;再結(jié)合P為橢圓C在第一象限的動點即可求出面積的最小值.
解答:解:(1)依題意,橢圓過點( 2 , 
5
3
 )
,故
4
a2
+
25
9b2
=1
a2-b2=4 
,解得
a2=9
b2=5
.…(3分)
橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1
.…(4分)
(2)設(shè)D、E是橢圓C上關(guān)于l:y=9x+m對稱的點,設(shè)直線DE的方程為y=-
1
9
x+n

聯(lián)系方程得:
y=-
1
9
x+n
x2
9
+
y2
5
=1
46
405
x2-
2n
45
x+
1
5
n2-1=0
,由△>0得n2
46
9

又DE的中點G(
9n
46
45n
46
)
在直線l上,代入得
45n
46
=9•
9n
46
+m⇒n=-
23
18
m

代入△得-
6
46
23
<m<
6
46
23

(3)設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2
則直線PA:x1x+y1y=5,直線PB:x2x+y2y=5
所以,直線AB:x0x+y0y=5,故M(
5
y0
,0)
N(0,
5
x0
)
,所以S=
25
2x0y0

1=
x
2
0
9
+
y
2
0
5
≥2•
x0y 0
3
5
x0y0
3
5
2
,當(dāng)且僅當(dāng)x0=
3
2
2
y0=
10
2
時等號成立.
此時Smin=
5
5
3
點評:本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系及直線,解題時要認(rèn)真審題,注意運用方程思想等數(shù)學(xué)思想,同時考查了學(xué)生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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AB
AD
的值為
24
24

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〔-1,1〕
〔-1,1〕

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