Question

(本小題滿分14分)

如圖，棱柱ABCD—的所有棱長都為2， ，側棱與底面ABCD的所成角為60°，⊥平面ABCD，為的中點．

（Ⅰ）證明：BD⊥；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求二面角DC的余弦值．

Answer 1

【解析】（I）棱柱ABCD—的所有棱長都為2，

    四邊形ABCD為菱形， .  .......................................1分

又⊥平面ABCD, 平面ABCD，

 .                                 ..................................2分

又，平面，

平面，                           .......................3分

平面，

 BD⊥.                                    .......................................4分

（Ⅱ）連結

四邊形ABCD為菱形，

      是的中點.                           .............................. 5分

        又點F為的中點，

        在中，，                    ................................6分

        平面，平面    

        平面                            .......................8分

（III）以為坐標系的原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系. 側棱與底面ABCD的所成角為60°，⊥平面ABCD．

 ，在中，可得

在中，.

得        ......................10分

設平面的法向量為

可設                               ..............................11分

又平面 

所以，平面的法向量為     .............................12分

,

二面角D——C為銳角，

故二面角D——C的余弦值是 .               ...........................14分