Question

已知函數f(x)=(log2x)2-2log

1

2

x+1，g(x)=x2-ax+1
（1）求函數y=f(cos(x-

π

3

))的定義域；
（2）若存在a∈R，對任意x1∈[

1

8

，2]，總存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使原函數有意義，須使cos(x-

π

3

)＞0，解出即可；
（2）先求出函數f（x）在[

1

8

，2]上的值域，由題意該值域為函數g（x）在[-1，2]上值域的子集，按g（x）圖象的對稱軸在[-1，2]的左側、右側、內部三種情況進行討論，結合圖象可得端點處函數值g（-1）、g（2）的限制條件，得不等式組，分別解出，最后求并集即可；

解答：解：（1）由cos(x-

π

3

)＞0，解得2kπ-

π

2

＜x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，解得2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
所以函數的定義域為：{x|2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

(k∈Z)}；
（2）首先，f(x)=(log2x)2+2log2x+1=(1+log2x)2，
∵x∈[

1

8

，2]，∴-3≤log₂x≤1，∴函數f（x）的值域為[0，4]，
其次，由題意知：[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且對任意y∈[0，4]，總存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀）．以下分三種情況討論：
①當

a

2

≤-1時，則

g(-1)=a+2≤0 g(2)=5-2a≥4

，解得a≤-2；
②當

a

2

≥2時，則

g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a≤0

，解得a≥4；
③當-1＜

a

2

＜2時，則

△＞0 g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a＜0

或

△＞0 g(-1)=a+2＜0 g(2)=5-2a≥4

，解得

5

2

＜a＜4；
綜上：a≤-2或a＞

5

2

．

點評：本題考查函數的定義域及二次函數的性質，考查分類討論思想、數形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力，解決（2）問的關鍵是正確理解條件并進行合理轉化．