Question

設AB是橢圓

x2

2

+y2=1的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標原點，則k_AB•k_OM=

 

．

Answer 1

分析：設M（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），易知k_OM=

b

a

，再由點差法可知k_AB=-

a

2b

，由此可求出k_AB•k_OM=-

1

2

．

解答：解：設M（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M為AB的中點，∴x₁+x₂=2a，y₁+y₂=2b，
把A、B代入橢圓

x2

2

+y2=1得

x12+2y12=2 ① x22+2y22=2 ②

，
①-②得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2a（x₁-x₂）+4b（y₁-y₁）=0，∴kAB=-

a

2b

．
∵kOM=

b

a

，∴k_AB•k_OM=-

1

2

．
答案：-

1

2

．

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要注意點差法的合理運用．