Question

若函數g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），函數g（x）的圖象與函數h（x）的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）試寫出函數h（x）的解析式；
（Ⅱ）設f（x）=g（x）-h（x），判斷函數f（x）的奇偶性并予以證明；
（Ⅲ）當0＜a＜1時，求f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數g（x）的圖象與函數h（x）的圖象關于y軸對稱，則h（x）=g（-x），代入可得答案．
（II）先判斷函數的定義域關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據函數奇偶性的定義，得到結論；
（III）由0＜a＜1，結合對數函數的單調性及函數的定義域，將原不等式轉化為相應的整式不等式組，可得答案．

解答：解：（I）∵函數g（x）的圖象與函數h（x）的圖象關于y軸對稱
∴h（x）=g（-x）=log_a（-x+1）
（II）f（x）=g（x）-h（x）=log_a（x+1）-log_a（-x+1）的定義域為（-1，1），關于原點對稱
又∵f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（x+1）=-[log_a（x+1）-log_a（-x+1）]=-f（x）
故函數f（x）為奇函數
（III）當0＜a＜1時，
不等式f（x）＞0可化為

1+x＞0 1-x＞0 1+x＜1-x

解得-1＜x＜0
即使F（x）＞0的x的取值范圍為（-1，0）

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的定義域，函數的奇偶性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．