Question

如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2 m，渠深為1.8 m，邊坡的傾斜角是45°.

(1)試將橫斷面中水的面積A(m²)表示成水深h(m)的函數；
(2)確定函數的定義域和值域；
(3)畫出函數的圖象．

Answer 1

(1) A＝＝h²＋2h(m²)；
(2) 定義域為{h|0＜h＜1.8}        值域為{A|0＜A＜6.84}；
(3)見解析

解：(1)由已知，橫斷面為等腰梯形，下底為2 m，上底為(2＋2h) m，高為h m，
∴水的面積A＝＝h²＋2h(m²)．
(2)定義域為{h|0＜h＜1.8}．值域由二次函數A＝h²＋2h(0＜h＜1.8)求得．由函數A＝h²＋2h＝(h＋1)²－1的圖象可知，在區間(0，1.8)上函數值隨自變量的增大而增大，
∴0＜A＜6.84.
故值域為{A|0＜A＜6.84}．

(3)函數圖象如下確定．
由于A＝(h＋1)²－1，對稱軸為直線h＝－1，頂點坐標為(－1，－1)，且圖象過(0,0)和(－2,0)兩點，又考慮到0＜h＜1.8，∴A＝h²＋2h的圖象僅是拋物線的一部分，如下圖所示．

點評：建立函數解析式的關鍵是找到自變量、對應關系和函數值．對于實際問題，函數的定義域除了使解析式有意義外，還要考慮到它的實際意義．