Question

（2012•浙江模擬）設p：關于x的方程x²+2ax+b=0 有實數根，且兩根均小于2，q：a≥2且|b|≤4，則下列說法正確的是（　　）

A．p是q的充要條件

B．p是q的充分不必要條件

C．p是q的必要不充分條件

D．p是q的既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：本題根據方程x²+2ax+b=0 有實數根，且兩根均小于2，轉化成關于a、b 的不等式，求解不等式得出a、b的范圍，看是否充分，然后在a、b滿足a≥2且|b|≤4的前提下，能否得到關于x的方程x²+2ax+b=0 有實數根，且兩根均小于2，從而選出正確選項．

解答：解：因為關于x的方程有實數根，且兩根均小于2，所以有

(2a)2-4b≥0 - 2a 2 ＜2 f(2)＞0

⇒

4a2-4b≥0 a＞-2 4+4a+b＞0

所以由方程有實數根不見得有a≥2，故p是q的不充分條件．
因為二次函數f（x）=x²+2ax+b的對稱軸為x=-a，若a≥2，則-a≤-2＜2，又|b|≤4，所以f（2）=4+4a+b＞0，
△=（2a）²-4b=4a²-4b＞0，所以二次函數圖象與x軸有兩個交點，橫坐標均小于2，所以方程x²+2ax+b=0有實數根，且兩根都小于2，故p是q的必要條件．
故p是q的必要不充分條件．
故選C

點評：根據方程根的情況，借助于二次方、二次函數圖象及二次不等式的結合，得出控制a、b的不等式組是解決本題的關鍵．