Question

已知圖形OAPBCD是由不等式組

0≤x≤e2 0≤y≤e y≥lnx

，圍成的圖形，其中曲線段APB的方程為y=lnx（1≤x≤e²），P為曲線上的任一點．
（1）證明：直線OC與曲線段相切；
（2）若過P點作曲線的切線交圖形的邊界于M，N，求圖形被切線所截得的左上部分的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設點O，C，P的坐標，利用導數的幾何意義得到在點P處的切線的斜率，得到切線方程，根據切線方程過點O，可得切線方程，點C坐標滿足切線方程，故點C在切線上，故可證得結論；
（2）根據（1）的結論，可得過點P的切線方程，根據點P橫坐標的取值范圍進行分類討論，當1≤x₀≤e時，切線交OA于點M，交CD于點N，可求得M，N的坐標，表示出圖形被切線所截得的左上部分的面積S的表達式，利用導數即可求得最小值，當e≤x₀≤e²時，切線交OD于點M，交BC于點N，可求得M，N的坐標，表示出圖形被切線所截得的左上部分的面積S的表達式，利用導數即可求得最小值，最后比較兩種情況中的最小值，即可確定答案．

解答：解：（1）∵曲線段APB的方程為y=lnx（1≤x≤e²），P為曲線上的任一點，
又圖形OAPBCD是由不等式組

0≤x≤e2 0≤y≤e y≥lnx

圍成的圖形，
∴設O（0，0），C（e²，e），P（x₀，lnx₀），
∵y′=

1

x

，
∴過點P的切線的斜率k=

1

x0

，
∴切線方程為：y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），即y=

1

x0

x+lnx₀-1，①
若①式過點O，則由0=lnx₀-1，解得x₀=e，
∴切線方程為y=

x

e

，
又點C（e²，e）滿足切線方程，
∴切線方程過點C，
∴直線OC與曲線相切
（2）由（1）可知，過點P的切線方程為y=

1

x0

x+lnx₀-1，
①當1≤x₀≤e時，切線交OA于點M，交CD于點N，
∵y=

1

x0

x+lnx₀-1，
∴令y=0，解得x=x₀（1-lnx₀），
令y=e，解得x=x₀（e+1-lnx₀），
∴M（x₀（1-lnx₀），0），N（x₀（e+1-lnx₀），e），
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S=

x0(1-lnx0)+x0(e+1-lnx0)

2

×e=ex0(

e

2

+1-lnx0)，
∴S′=e(

e

2

-lnx0)＞0，
∴S在[1，e]上單調遞增，
∴當x₀=1時，S取得最小值為e×1×（

e

2

+1-ln1）=

e(e+2)

2

，
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S的最小值為

e(e+2)

2

；
②當e≤x₀≤e²時，切線交OD于點M，交BC于點N，
∵y=

1

x0

x+lnx₀-1，
∴令x=0，解得y=lnx₀-1，
令x=e²，解得y=

e2

x0

+lnx0-1，
∴M（0，lnx₀-1），N（e²，

e2

x0

+lnx0-1），
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S=

e-(lnx0-1)+e-( e2 x0 +lnx0-1)

2

×e2=

e2

2

(2e-2lnx0-

e2

x0

+2)，
∴S′=

e2

2

(

e2

x0

-

2

x0

)=

e2

2

(

e2-2x0

x02

)，
令S′=0，解得x₀=

e2

2

，
當e≤x₀≤

e2

2

時，S′＞0，當

e2

2

＜x₀≤e²時，S′＜0，
∴S在[e，

e2

2

]上為單調遞增函數，在（

e2

2

，e²）上為單調遞減函數，
∵當x₀=e時，S=

e2

2

×(2e-2-e+2)=

e3

2

，
當x₀=e²時，S=

e2

2

×(2e-4-1+2)=

e2(2e-3)

2

，
∵

e3

2

＞

e2(2e-3)

2

，
∴S的最小值為

e2(2e-3)

2

，
∴圖形被切線所截得的左上部分的面積S的最小值為

e2(2e-3)

2

．
綜合①②，由于

e2(2e-3)

2

＞

e(e+2)

2

，
∴當x₀=1時，S的最小值為

e(e+2)

2

，
故圖形被切線所截得的左上部分的面積的最小值為

e(e+2)

2

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，利用導數研究函數的最值問題．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．利用導數研究函數在閉區間上的最值，一般是求出導函數對應方程的根，然后求出跟對應的函數值，區間端點的函數值，然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值．屬于中檔題．