Question

在中華人民共和國(guó)成立60周年的國(guó)慶盛典中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，如果煙花距地面高h(yuǎn)米與時(shí)t秒之間的關(guān)系為h（t）=-2t²+4

3

t+19．
（1）煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少？
（2）當(dāng)煙花在最高點(diǎn)爆裂時(shí)，位于煙花正東方的觀眾甲觀賞煙花的仰角是45°，位于南偏西60°的觀眾乙觀賞煙花的仰角是30°，求這時(shí)觀眾甲和觀眾乙相距多遠(yuǎn)（觀眾的身高忽略不記）？

Answer 1

分析：（1）把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是求二次函數(shù)自變量是多少時(shí)取最大值，最大值是多少，把式子寫(xiě)為頂點(diǎn)式即可；
（2）畫(huà)出簡(jiǎn)圖，分析已知量，要求的量為PA、PB的長(zhǎng)度，在直角三角形中用正切來(lái)求，用余弦定理可得要求的量．

解答：解：（1）h（t）=-2t²+4

3

t+19=-2(t-

3

)2+25，
當(dāng)t=

3

時(shí)，h（t）取得最大值25．
∴煙花沖出后

3

秒是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度是25米．
（2）如圖：A，B兩點(diǎn)分別表示觀眾和甲觀眾乙所在位置，
點(diǎn)P表示煙花所在的最高點(diǎn)，PO表示煙花距地面的高度．

顯然PO⊥平面AOB，∴PO⊥AO，PO⊥BO，
由已知PO=25，∠PAO=45°，∠PBO=30°，
∠AOB=60°+90°=150°．
∴0A=

PO

tan45°

=PO=25，OB=

PO

tan30°

=

25

3 3

=25

3

．
在△AOB中，由余弦定理得
AB²=AO²+BO²-2AO•BO•cos∠AOB
=25²+(25

3

)2-2×25×25

3

×cos150°
=25²×7
∴AB=25

7

，
∴這時(shí)觀眾甲和觀眾乙相距25

7

米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)經(jīng)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，畫(huà)出簡(jiǎn)圖易于解決問(wèn)題．