Question

【題目】對于區間，若函數同時滿足：①在上是單調函數；②函數，的值域是，則稱區間為函數的“保值”區間.

（1）求函數的所有“保值”區間.

（2）函數是否存在“保值”區間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)的取值范圍是.

【解析】分析：（1）由已知中“保值”區間的定義，結合函數的值域是，我們可得 ，從而函數在區間上單調遞增，故有，結合 即可得到函數函數的“保值”區間；（2）由已知中“保值”區間的定義，我們分函數在區間上單調遞減，和函數在區間上單調遞增，兩種情況分類討論，分別將用或表示，利用二次函數配方法可得到結論.

詳解：（1）因為函數的值域是，且在的最后綜合討論結果，即可得到值域是，

所以，所以，從而函數在區間上單調遞增，

故有，解得.

又，所以.

所以函數的“保值”區間為.

（2）若函數存在“保值”區間，則有：

①若，此時函數在區間上單調遞減，

所以，消去得，整理得.

因為，所以，即.

又，所以.

因為 ，

所以.

②若，此時函數在區間上單調遞增，

所以，消去得，整理得.

因為，所以，即.

又，所以.

因為 ，

所以.

綜合①、②得，函數存在“保值”區間，此時的取值范圍是.