Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若函數y=f（x）與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，
且直線x=是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求ω的值；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間；
（3）若x∈[-，]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）函數y=f（x）與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為，所以函數的周期是：T=π，所以ω==2
（2）直線x=是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，|φ|＜，所以 φ=，函數的解析式是：y=sin（2x+）
因為2x+∈[-+2kπ，+2kπ]k∈Z，所以，x∈[k，k]k∈Z 所以函數的單調增區間為：[k，k]k∈Z．
（3）x∈[-，]，所以2x+∈[-，]，所以sin（2x+）∈[-，1]
函數的值域為：[-，1]
分析：（1）依題意求出函數的周期，利用周期公式求出ω；
（2）利用直線x=是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸．求出φ，得到函數的解析式，通過正弦函數的單調增區間，求出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（3）通過x∈[-，]，求出ωx+φ的范圍，然后求y=f（x）的值域．
點評：本題是基礎題，考查三角函數的解析式的求法，三角函數的基本性質，對稱性、周期性、單調性、值域等等，考查計算能力，常考題型．