Question

已知函數
（1）若函數在點處的切線方程為，求的值；
（2）若，函數在區間內有唯一零點，求的取值范圍；
（3）若對任意的，均有，求的取值范圍．

Answer 1

（1），；（2）或；（3）.

試題分析：本題考查導數的運算，利用導數求切線方程、判斷函數的單調性、求函數的最值等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導數求切線方程，先求導，將切點的橫坐標代入到導數中，得到切線的斜率，再求即切點的縱坐標，直接利用點斜式寫出切線方程；第二問，先將代入得到解析式，求導數，判斷函數的單調性，因為在有唯一的零點，所以或，所以解得或；第三問，屬于恒成立問題,通過分析題意，可以轉化為在上的最大值與最小值之差，因為，所以討論的正負來判斷的正負，當時，為單調函數，所以，當時，需列表判斷函數的單調性和極值來決定最值的位置，這種情況中還需要討論與1的大小.
試題解析：(1) ，所以，得.      2分
又，所以，得.      3分
（2） 因為所以， .      4分
當時，，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增                  5分
又，可知在區間內有唯一零點等價于
或，                             .      7分
得或.                                    8分
(3)若對任意的，均有，等價于
在上的最大值與最小值之差                 10分
（ⅰ） 當時，在上，在上單調遞增，
由，得，
所以                                   9分
（ⅱ）當時，由得

由得或
所以，同理        .      10分
 當，即時，，與題設矛盾；   11分
 當，即時，恒成立；     12分
 當，即時，恒成立；      13分
綜上所述，的取值范圍為.                         14分