Question

【題目】已知函數，．

（）設曲線在處的切線為，到點的距離為，求的值．

（）若對于任意實數，恒成立，試確定的取值范圍．

（）當時，是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)或(2)(3)不存在

【解析】

試題

(1)該問切點橫坐標已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線即可得到切點的縱坐標,對進行求導并得到在切點處的導函數值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結合條件點到切線的距離為即可求的參數的值.

(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數法,即把參數a與x進行分離得到,則,再利用函數的導函數研究函數在區間的最大值,即可求的a的取值范圍.

(3)根據切線的斜率即為曲線C在切點處的導函數值,即該問可以轉化為是否存在使得,令,則即存在使得,對再次求導進行最值求解可得,所以不存在使得.

試題解析：

（1）,.

在處的切線斜率為，

∴切線的方程為，即. 2分

又點到切線的距離為,所以，

解之得，或4分

（2）因為恒成立，

若恒成立；

若恒成立，即，在上恒成立，

設則

當時，，則在上單調遞增；

當時，，則在上單調遞減；

所以當時，取得最大值，，

所以的取值范圍為. 9分

（3）依題意,曲線的方程為,令

所以,

設,則,當,

故在上單調增函數,因此在上的最小值為

即

又時,

所以

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解,但是,沒有實數解,故不存在實數使曲線在點處的切線與軸垂直. 14分