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設函數 $數學公式$ ，函數 $數學公式$ ，其中a為常數且a＞0，令函數f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當 $數學公式$ 時，求函數f（x）的值域；
（3）是否存在自然數a，使得函數f（x）的值域恰為 $數學公式$ ？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數a所構成的集合；若不存在，試說明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ，其定義域為[0，a]；（2分）
（2）令 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 且x=（t-1）²
∴ $\text{[math]}$ （5分）
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上遞增，即此時f（x）的值域為 $\text{[math]}$ （8分）
（3）令 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ 且x=（t-1）²∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴y= $\text{[math]}$ 在[1，2]上遞增， $\text{[math]}$ 上遞減，（10分）
t=2時 $\text{[math]}$ 的最大值為 $\text{[math]}$ ，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2時 $\text{[math]}$
∴由f（x）的值域恰為 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰為 $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ （13分）
所求a的集合為{1，2，，9}．（14分）
分析：（1）求出函數f（x）的表達式，由g（x），h（x）的定義域求解函數f（x）的定義域．
（2）當 $\text{[math]}$ 時，函數f（x）的定義域即可確定，利用換元和基本不等式求最值即可；
（3）結合（2）利用函數的值域求出關于a的表達式，求出a的范圍即可．
點評：本題考查函數的定義域，函數的值域，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．

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