Question

如圖：已知長方體的底面是邊長為的正方形，高，為的中點，與交于點．
（1）求證：平面；
（2）求證：∥平面；
（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

試題分析：（1）要證平面，就要在平面內找兩條與垂直的相交直線，由于是正方形，因此有，而在長方體中，側棱與底面垂直，從而一定有，兩條直線找到了；（2）要證平面，就應該在平面內找一條直線與平行，觀察圖形發現平面與平面相交于直線（是與的交點），那么就是我們要找的平行線，這個根據中位線定理可得；（3）求三梭錐的體積，一般是求出其底的面積和高（頂點到底面的距離），利用體積公式得到結論，本題中點到底面的距離，即過到底面垂直的直線比較難以找到，考慮到三棱錐的每個面都是三角形，因此我們可以換底，即以其他面為底面，目的是高易求，由于長方體的底面是正方形，其中垂直關系較多，可證平面，即平面，因此以為底，就是高，體積可得.
試題解析：（1）底面是邊長為正方形，
底面，平面        3分
，平面    5分
（2）連結，為的中點，為的中點
∥，        7分
又平面，平面
∥平面        10分
（3），，，
同樣計算可得，為等腰三角形，        12分
，，等腰三角形的高為
         14分