Question

已知函數f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常數．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）當a∈（1，4）時，求函數f（x）在[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x）的定義域，就是求x+

a

x

-2＞0的解集，可以通過對a分類討論解解不等式求解；
（2）可以構造函數g（x）=x+

a

x

-2，當a∈（1，4）時通過導數法研究g（x）在[2，+∞）上的單調性，再利用復合函數的性質可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值．

解答：解：（1）由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0
即

(x-1)2+a-1

x

＞0
∵（x-1）²≥0
∴a＞1時，定義域為（0，+∞）
a=1時，定義域為{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1時，定義域為{x|0＜x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

}
（2）設g（x）=x+

a

x

-2，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時，
g'（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g（x）=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函數，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上是增函數，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=lg

a

2

點評：此題考查了對數函數的定義域以及復合函數的單調性，體現了分類討論思想．