Question

【題目】已知數列滿足.

（1）證明：數列為等差數列；

（2）設數列的前n項和為，若，且對任意的正整數n，都有，求整數的值；

（3）設數列滿足，若，且存在正整數s，t，使得是整數，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）令中的為，又得一式，將兩式做差變形，利用等差中項進行證明；

（2）利用放縮法和裂項相消法在數列求和中的應用進行證明．
（3）利用假設法的應用和存在性問題的應用求出最小值．

解：（1）因為①

所以時， ②

①-②得，

所以

即

所以數列為等差數列；

（2）因為，所以的公差為1，

因為對任意的正整數，都有，

所以，所以，即，

所以或2，

當時，，，，

所以，這與題意矛盾，所以，

當時，，

，

，恒成立，

因為，

，

綜上，的值為2.

（3）因為，所以的公差為，

所以，

所以，

由題意，設存在正整數s，t，使得，，

則，即，

因為，

所以是偶數，

所以，

所以，

當時，，

所以存在，

綜上，的最小值為.