Question

15、已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x無(wú)實(shí)根，則下列命題中：
（1）方程f[f（x）]=x一定無(wú)實(shí)根；
（2）若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；
（3）若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x₀，使得f[f（x₀）]＞x₀；
（4）若a+b+c=0，則不等式f[f（x）]＜x對(duì)一切x都成立．
其中正確命題的序號(hào)有

（1）（2）（4）

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：f[f（x）]為一個(gè)復(fù)合函數(shù)，可以把方括號(hào)里的f（x）看作為一個(gè)未知數(shù)t，t的范圍就是f（x）的值域．由此入手進(jìn)行判斷，能夠得到正確答案．

解答：解：f[f（x）]為一個(gè)復(fù)合函數(shù)，可以把方括號(hào)里的f（x）看作為一個(gè)未知數(shù)t，t的范圍就是f（x）的值域．
（1）：f[f（x）]可以看為f（t），而題中f（x）=x無(wú)實(shí)根，所以方程f[f（x）]=x無(wú)實(shí)根，故（1）成立；（2）：和第一個(gè)一樣的想法，依然把方括號(hào)里的f（x）看作為一個(gè)未知數(shù)t，則外層為一個(gè)開(kāi)口向上的2次函數(shù)，
且f（x）=x無(wú)實(shí)根，所以a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，故（2）成立；（3）：和2問(wèn)同理，只不過(guò)a符號(hào)變了下，故（3）錯(cuò)誤；（4）：由條件得f（1）=0，把x=1代入里面得到了一個(gè)結(jié)論為c＜1的結(jié)論，
這就說(shuō)明若使（4）成立必有c＜1，而滿(mǎn)足大前提的c肯定是有可能取到小于1的數(shù)的，所以（4）對(duì)．
故答案為：（1）、（2）、（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘隱含條件．