Question

甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分（無平局），比賽進(jìn)行到有一個(gè)人比對方多2分或比滿8局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p(p＞

1

2

)，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為

5

8

．
（I）如圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸人a=l．b=0；如果乙獲勝，則輸人a=0，b=1．請問在①②兩個(gè)判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）程序框圖中的①應(yīng)填M=2，②應(yīng)填n=8．（注意：答案不唯一．）
（Ⅱ）依題意得，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止．所以p2+(1-p)2=

5

8

，由此能求出p的值．
（Ⅲ）依題意得，ξ的可能值為2，4，6，8．分別求出P（ξ=2），P（ξ=4），P（ξ=6），P（ξ=8），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）程序框圖中的①應(yīng)填M=2，②應(yīng)填n=8．（注意：答案不唯一．）…（2分）
（Ⅱ）依題意得，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止．
所以p2+(1-p)2=

5

8

，
解得：p=

3

4

或p=

1

4

，
因?yàn)?span id="3l97h7z" class="MathJye">p＞

1

2

，所以p=

3

4

．…（6分）
（Ⅲ）依題意得，ξ的可能值為2，4，6，8．
P(ξ=2)=

5

8

，
P(ξ=4)=(1-

5

8

)×

5

8

=

15

64

，
P(ξ=6)=(1-

5

8

)(1-

5

8

)×

5

8

=

45

512

，
P(ξ=8)=(1-

5

8

)(1-

5

8

)(1-

5

8

)×1=

27

512

．
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	2	4	6	8
P	5 8	15 64	45 512	27 512

故Eξ=2×

5

8

+4×

15

64

+6×

45

512

+8×

27

512

=

803

256

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識的合理運(yùn)用．