Question

平面內動點P到點F(1，0)的距離等于它到直線x＝－1的距離，記點P的軌跡為曲線Γ.
(1)求曲線Γ的方程；
(2)若點A，B，C是Γ上的不同三點，且滿足＋＋＝0，證明：△ABC不可能為直角三角形．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）不可能是直角三角形

(1)由條件可知，點P到點F(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，所以點P的軌跡是以F(1，0)為焦點，x＝－1為準線的拋物線，其方程為y²＝4x.
(2)證明：方法一，假設△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，則
＝(x₂－x₁，y₂－y₁)，＝(x₃－x₁，y₃－y₁)，且·＝0，
所以(x₂－x₁)(x₃－x₁)＋(y₂－y₁)(y₃－y₁)＝0.
因為x_i＝(i＝1，2，3)，y₁≠y₂，y₁≠y₃，
所以(y₁＋y₂)(y₁＋y₃)＋16＝0.
又因為＋＋＝0，所以x₁＋x₂＋x₃＝3，y₁＋y₂＋y₃＝0，
所以y₂y₃＝－16，①
又＋＋＝4(x₁＋x₂＋x₃)＝12，
所以(－y₂－y₃)²＋＋＝12，即＋＋y₂y₃＝6，②
由①②得＋－16＝6，即－22＋256＝0，③
因為Δ＝(－22)²－4×256＝－540<0.
所以方程③無解，從而△ABC不可能是直角三角形．
方法二，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，由＋＋＝0，
得x₁＋x₂＋x₃＝3，y₁＋y₂＋y₃＝0.欲證△ABC不是直角三角形，只需證明∠A≠90°.
(ⅰ)當AB⊥x軸時，x₁＝x₂，y₁＝－y₂，從而x₃＝3－2x₁，y₃＝0，
即點C的坐標為(3－2x₁，0)．
由于點C在y²＝4x上，所以3－2x₁＝0，即x₁＝，
此時A，B，C(0，0)，則∠A≠90°.
(ⅱ)當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為x＝ty＋m(t≠0)，代入y²＝4x，整理得y²－4ty－4m＝0，則y₁＋y₂＝4t.
若∠A＝90°，則直線AC的斜率為－t，同理可得y₁＋y₃＝－.
由y₁＋y₂＋y₃＝0，得y₁＝4t－，y₂＝，y₃＝－4t.
由x₁＋x₂＋x₃＝3，可得＋＋＝4(x₁＋x₂＋x₃)＝12.
從而＋＋(－4t)²＝12，
整理得t²＋＝，即8t⁴－11t²＋8＝0，④
Δ＝(－11)²－4×8×8＝－135<0.
所以方程④無解，從而∠A≠90°.
綜合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．