Question

已知曲線W上的動點M到點F(1,0)的距離等于它到直線x=-1的距離.過點P(-1,0)任作一條直線l與曲線W交于不同的兩點A、B,點A關于x軸的對稱點為C.

(1)求曲線W的方程;

(2)求證:=λ(λ∈R);

(3)求△PBC面積S的取值范圍.

Answer 1

答案：(1)解:由題知,曲線W是以F(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,

所以曲線W的方程為y²=4x.

(2)證明:因為直線l與曲線W交于A、B兩點,所以l的斜率k存在,且k≠0,

設直線l的方程為y=k(x+1),由得k²x²+(2k²-4)x+k²=0.

因為直線l與曲線W交于A、B兩點,

所以k≠0,Δ=4(k²-2)²-4k⁴＞0,即|k|＜1且k≠0.

設點A,B的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=1,點C的坐標為(x₁,-y₁),

y₁=k(x₁+1),y₂=k(x₂+1).

所以=(x₁-1,-y₁),=(x₂-1,y₂).

又因為(x₁-1)y₂-(x₂-1)(-y₁)=(x₁-1)k(x₂+1)+(x₂-1)k(x₁+1)=k(2x₁x₂-2)=0,

所以=λ.

(3)由題意S=|PF|·|y₁+y₂|

=|k(x₁+x₂+2)|=|k(+2)|=.

因為|k|＜1且k≠0,所以S的取值范圍是(4,+∞).