Question

16、用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式的配湊法，證明當n=k+1時，結(jié)論也成立即可．

解答：證明：（1）當n=1時，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除
（2）假設(shè)當n=k時，4^2k+1+3^k+2能被13整除，則當n=k+1時，
4^2（k+1）+1+3^k+3=4^2k+1•4²+3^k+2•3-4^2k+1•3+4^2k+1•3
=4^2k+1•13+3•（4^2k+1+3^k+2?）
∵4^2k+1•13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除
∴當n=k+1時也成立
由①②知，當n∈N^*時，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除

點評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立