Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點到準線的距離是2．
（Ⅰ）求此拋物線方程；
（Ⅱ）設點A，B在此拋物線上，點F為此拋物線的焦點，且，若λ∈[4，9]，求直線AB在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點到準線的距離p=2
所以此拋物線方程為y²=4x
（Ⅱ）由題意，直線AB的斜率存在．F（1，0），設直線AB的方程為y=k（x-1）
由消y，整理得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）則，x₁•x₂=1
因為，所以（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），于是
由y₂=-λy₁，得y₂²=λ²y₁²?4x₂=법4x₁?x₂=법x₁，
又x₁•x₂=1，
消x₂得법x₁²=1，
因為x₁＞0，所以，從而，x₂=λ．
代入得，，
令，
因為在[4，9]上遞增，
所以，即，
于是，，或
所以直線AB在y軸上截距的取值范圍為：．
分析：（Ⅰ）根據焦點到準線的距離求得p，則拋物線方程可得．
（Ⅱ）設出直線AB的方程與拋物線方程聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）根據韋達定理可表示出x₁+x₂和x₁•x₂，根據，進而求得x₂=법x₁，進而根據x₁•x₂=1，消去x₂，求得x₁和x₂，代入x₁+x₂中，求得λ和k的關系式，根據在[4，9]上遞增，進而求得y的范圍進而求得k的范圍，進而求得直線在x軸上的截距的范圍可得．
點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，直線與拋物線的關系，向量的計算等．考查了學生運用所學知識靈活解決問題的能力．