Question

函數f（x）=x³+ax²+bx在x=-1處取得極值，且f（x）的圖象在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=8x．
（I）求函數f（x）解要式和極值；
（II）對任意α，β∈R，求證|f(sinα)-f(cosβ)|≤

112

27

．

Answer 1

分析：（I）由

f′(-1)= 0 f′(1) = 8

 解出a 和 b 的值，可得函數f（x）的解析式以及其導數的解析式，
求出導數等于0的根，考查導數在根的兩側的符號，求出極值．
（II）結合 （I）求出 f（x）在[-1，1]上的最大和最小值，|f（sinα）-f（cosβ）|小于或等于
最大值減去最小值．

解答：解：（I）由

f′(-1)=0 f′(1)=8

得

3-2a+b=0 3+2a+b=8

得

a=2 b=1

，
∴f（x）=x³+2x²+x．
則f'（x）=3x²+4x+1，由f'（x）=0得x=-1或x=-

1

3

f(x)極大=f(-1)=0，f(x)極小=f(-

1

3

)=-

4

27

．
（II）∵α，β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1，
由（I）知f（x）在[-1，1]上的最大，最小值分別為f(1)=4，f(-

1

3

)=-

4

27

，
∴|f(sinα)-f(cosβ)|≤4-(-

4

27

)≤

112

27

．

點評：本題考查函數在某處取的價值的條件，導數與切線斜率的關系，求函數在閉區間上的最值的方法．