Question

在平面直角坐標系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），映射f將xOy平面上的點P（x，y）對應到另一個平面直角坐標系uO′v上的點P′（4xy，2x²-2y²），則當點P沿著折線A-B-C運動時，在映射f的作用下，動點P′的軌跡是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：映射f將xOy平面上的點P（u，v）對應到另一個平面直角坐標系uO'v上的點P'（4xy，2x²-2y²），求在映射f的作用下，動點P'的軌跡，就是求動點的橫縱坐標所滿足的函數關系式，把動點的坐標設出，借助于參數方程消掉參數即可．

解答：解：當點P沿著折線A-B運動時，x、y的關系為y=-x+1（0≤x≤1）
設p′（u，v），則

u=4xy v=2x2-2y2

所以

u=4x(-x+1)=-4x2+4x① v=2x2-2(-x+1)2=4x-2②

由②得x=

v+2

4

                ③
把③代入①得v²=-4u+4（0≤u≤1）
圖象為拋物線在v軸右側部分；
當點P沿著折線B-C運動時，x、y的關系為y=x+1（-1≤x≤0）
則

u=4x(x+1)=4x2+4x v=2x2-2(x+1)2=-4x-2

消掉參數得vv²=4u+4（-1≤u≤0），
圖象為v軸左側部分．
所以在映射f的作用下，動點P'的軌跡是拋物線的兩部分．
故選A．

點評：本題考查了映射的概念，象與原象的關系，以及考查含參數方程的消參方法，計算能力也得到培養．