Question

如圖①，E、F分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點，∠B＝90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A1EFB，若M為線段A1C中點．求證：

(1)直線FM∥平面A1EB；

(2)平面A1FC⊥平面A1BC.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】證明：(1)取A1B中點N，連結NE、NM，

則MN∥=BC，EF∥=BC，所以MN∥=FE，

所以四邊形MNEF為平行四邊形，所以FM∥EN，

因為FM平面A1EB，EN平面A1EB，

所以直線FM∥平面A1EB.

(2)因為E、F分別為AB和AC的中點，

所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C.

同理，EN⊥A1B.

由(1)知，FM∥EN，所以FM⊥A1B.

因為A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC.

因為FM平面A1FC，

所以平面A1FC⊥平面A1BC.