Question

（2006•石景山區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意θ≠

kπ

2

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：
對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構(gòu)造過(guò)程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，若x₁=-1，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）換元法：令x=a-tanθ（θ≠

kπ

2

），則tanθ=a-x，代入可得f（x）表達(dá)式；
（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)題意，只需當(dāng)x≠a時(shí)，方程f（x）=x有解，亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解，由△≥0可求得a的取值范圍；（ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，滿足要求，可知，

x+1-a

a-x

=a在R中無(wú)解，亦即當(dāng)x≠a時(shí)，方程（1+a）x=a²+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解，由此可得

1+a=0 a2+a-1≠0.

，從而可得a值；（iii）當(dāng)a=1時(shí)，由f(x)=

x

1-x

，得xn+1=

xn

1-xn

．兩邊取倒數(shù)可得

1

xn+1

=

1-xn

xn

=

1

xn

-1，可知數(shù)列{

1

xn

}是首項(xiàng)為

1

x1

=-1，公差d=-1的等差數(shù)列從而可得

1

xn

．

解答：解：（Ⅰ）令x=a-tanθ（θ≠

kπ

2

），則tanθ=a-x，而cotθ=

1

tanθ

=

1

a-x

，
故f（x）=

1

a-x

-1，
∴y=f（x）=

x+1-a

a-x

（x≠a）．         
（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)題意，只需當(dāng)x≠a時(shí)，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
將x=a代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解x=a．
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得 a≤-3或a≥1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．       
（ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}，
那么根據(jù)題意可知，

x+1-a

a-x

=a在R中無(wú)解，亦即當(dāng)x≠a時(shí)，方程（1+a）x=a²+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對(duì)于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1無(wú)實(shí)數(shù)解，
因此

1+a=0 a2+a-1≠0.

，解得a=-1．
∴a=-1即為所求a的值．         
（ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

x

1-x

，所以，xn+1=

xn

1-xn

．
兩邊取倒數(shù)，得

1

xn+1

=

1-xn

xn

=

1

xn

-1，即

1

xn+1

-

1

xn

=-1．
所以數(shù)列{

1

xn

}是首項(xiàng)為

1

x1

=-1，公差d=-1的等差數(shù)列．
故

1

xn

=-1+(n-1)•(-1)=-n，
所以，xn=-

1

n

，即數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式為xn=-

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查方程與函數(shù)思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．