Question

已知α、β為銳角，

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（

1

2

，-

1

2

），

a

•

b

=

2

2

，

a

•

c

=

3 -1

4

，求角2β-α的值．

Answer 1

分析：根據

a

•

b

和

a

•

c

的值，利用他們的坐標利用兩角和公式分別求得cos（α-β）的值和sin（

π

6

-α），進而聯立求得α和β，則2β-α的值可得．

解答：解：∵

a

•

b

=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

2

2

，①

a

•

c

=（cosα，sinα）•（

1

2

，-

1

2

）
=

1

2

cosα-

1

2

sinα=

3 -1

4

．②
又∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

．
由①得α-β=±

π

4

，
由②得α=

π

6

．由α、β為銳角，得β=

5π

12

．
③④
從而2β-α=

2

3

π．

點評：本題主要考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，向量的基本運算．考查了考生綜合運用所學知識的能力．