Question

【題目】以橢圓的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；

（2）過點作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點，記為坐標原點）的面積為，將表示為m的函數，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）,；（2），，的最大值為1．

【解析】

（1）由橢圓C的離心率，結合的關系，得到，設出橢圓方程，代入點，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程；

（2）設切線的方程為，聯立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓相切，得到的關系式，求出 的面積，運用基本不等式，即可得到最大值．

（1）橢圓的離心率為，可得，即

又由，可得，

設橢圓C的方程為，

因為橢圓C過點，代入可得，

解得，所以橢圓C的標準方程為，

又由，即“伴隨圓”是以原點為圓心，半徑為1的圓，

所以橢圓C的“伴隨”方程為．

（2）由題意知，，

易知切線的斜率存在，設切線的方程為，

由得，

設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

則，．

又由l與圓x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．

所以=，

則，，

可得（當且僅當時取等號），

所以當時，S△AOB的最大值為1．