Question

市場營銷人員對過去幾年某種商品的價格及銷售數量的關系作統計分析，發現有如下規律：該商品的價格上漲x%（x＞0），銷售數量就減少kx%（其中k為正常數）．已知目前該商品價格為每件a元，其銷售數量為b件．
（1）當k=

1

2

時，該商品的價格上漲多少就能使銷售總金額達到最大？
（2）為控制物價，物價部門規定該商品漲價幅度不得超過50%．在漲價過程中，求使銷售金額不斷增加時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設該商品價格上漲x%后，銷售金額為y元，再寫出y的函數解析式，最后求出當k=

1

2

時，y有最大值，即得上漲多少就能使銷售總金額達到最大．
（2）根據由（1）得到的函數解析式，再結合二次函數的單調性，得到該函數在（0，50]上單調遞增可得k的取值范圍．

解答：解：設該商品價格上漲x%后，銷售金額為y元，
則y=b×(1-kx%)•a×(1+x%)=ab(1-kx%)(1+x%)

&(x＞0)

（1）當k=

1

2

時，y=

ab

2

×10-4[-(x-50)2+22500]
當x=50時，y有最大值，即上漲50%就能使銷售總金額達到最大．
（2）y=ab×10-⁴（-kx²+100（1-k）x+10000）a，b，k＞0
由該函數在（0，50]上單調遞增可得：

100(1-k)

2k

≥50?k∈(0，

1

2

]

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、二次函數、二次函數的應用、函數單調性的應用等基礎知識，考查運算求解能力、轉化思想．屬于基礎題．