Question

設數列 {a_n}的前n項和為S_n，且 S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列 {na_n}的前n項和為T_n，對任意 n∈N^*，比較

Tn

2

與 S_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1和S_n+1=2a_n+1-1相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，所以

an+1

an

=2，由此可求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由題設知T_n=1•2ⁿ+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，由錯位相減求和法可知T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．所以

Tn

2

-Sn=

n•2n-2n+1

2

-(2n-1)=( n-3)•2n-1+

3

2

，再分n=1，n=2和n＞2三種情況討論

Tn

2

與 S_n的大小關系．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，∴

an+1

an

=2
又S₁=2a₁-1∴a₁=2a₁-1，a₁=1∴a_n=2^n-1（5分）
（Ⅱ）T_n=1•2ⁿ+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
①-②得-T=1+2+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
則T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（9分）
∴

Tn

2

-Sn=

n•2n-2n+1

2

-(2n-1)=( n-3)•2n-1+

3

2

∴當n=1時，

T1

2

-S1 =-

1

2

＜0，當n=2時，

T2

2

-S2=-

1

2

＜0
即當n=1或2時，

Tn

2

-Sn＜0，

Tn

2

＜Sn
當n＞2時，

Tn

2

-Sn＞0，

Tn

2

＞Sn（13分）

點評：本題考查數列的性質、應用和通項公式的求法，解題時要注意錯位相減求和法、分類討論思想的靈活運用．