Question

設函數(shù)的定義域為，如果，存在唯一的，使（為常數(shù)）成立。則稱函數(shù)在上的“均值”為。已知四個函數(shù)：
①；②；③；④
上述四個函數(shù)中，滿足所在定義域上“均值”為１的函數(shù)是　    ．（填入所有滿足條件函數(shù)的序號）

Answer 1

①③④

試題分析：根據(jù)在其定義域上均值為1的函數(shù)的定義，逐一對四個函數(shù)列出方程，解出y關于x的表達式，其中①③④在其定義域內(nèi)有解，②在其定義域內(nèi)無解，從而得出正確答案．
解：①對于函數(shù) ，定義域為 ，設 ，由 ，得 ，所以
，所以函數(shù)是定義域上的“均值”為１的函數(shù)；
②對于函數(shù) ，定義域為 ，設  ,由得：   ，
當時  ，  ，不存在實數(shù) 的值，使 ，所以該函數(shù)不是定義域上均值為1的函數(shù)；
③對于函數(shù)  ，定義域是 ，設  ，得  ，則 ，
所以該函數(shù)是定義域上的均值為1的函數(shù)；
④對于函數(shù) ，定義域為 ，設 ,由 ，得 ，因為 所以存在實數(shù)，使得 成立，所以函數(shù)在其定義域上是均值為1的函數(shù).