Question

已知函數f(x)=

x-a

(x-a)2+4

，
（1）討論f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（2）當f（x）是奇函數時，求f（x）在[-c，c]（c＞0，c是常數）上的值域．

Answer 1

分析：（1）分類討論，利用函數奇偶性的定義，可得結論；
（2）求導函數，確定函數的單調性，分類討論，可得函數的值域．

解答：解：（1）當a=0時，f(x)=

x

x2+4

，∴f(-x)=

-x

(-x)2+4

=

-x

x2+4

=-f(x)，故f（x）為奇函數．（2分）．
當a≠0時，f（a）=0，f(-a)=

-a

2a2+2

≠0，∴f（-a）≠f（a），且f（-a）≠-f（a），
故f（x）為非奇非偶函數．（4分）．
（2）當a=0時，f(x)=

x

x2+4

為奇函數，f′(x)=

4-x2

(x2+4)2

=

(2-x)(2+x)

(x2+4)2

，令f'（x）=0，得x=±2．
當x變化時f'（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

又當x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＜0．
故f（x）（x∈R）的最大值為f(2)=

1

4

；f（x）（x∈R）的最小值為f(-2)=-

1

4

．（8分）．
由上可知當x∈[-c，c]（c＞0）時，
（1）若0＜c≤2，則f（x）在[-c，c]（c＞0）上單調遞增，所以f（x）的值域為[-

c

c2+4

，

c

c2+4

](c＞0)（10分）．
（2）若c＞2，則f（x）在[-c，-2]上單調遞減，在[-2，2]上單調遞增，在[2，c]上單調遞減，所以f（x）的值域為[-

1

4

，

1

4

]．（12分）

點評：本題考查函數的奇偶性，考查導數知識的運用，考查函數的值域，考查學生的計算能力，屬于中檔題．