Question

（本小題滿分13分）設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

Answer 1

（1）橢圓的方程為． （2）的最大值為11．

(1)由題設知，，，由，得,從而得到關于a的方程，求出a值.
(2)設圓的圓心為，則 
           ,
從而把的最大值轉化為求的最大值,再利用兩點間的距離公式再借助P在橢圓上，可以把轉化為關于P的橫坐標x的函數問題來解決.
（1）由題設知，，，………………………1分
由，得．………………3分
解得．所以橢圓的方程為．…………………4分
（2）方法1：設圓的圓心為，
則 ……………………6分
           ……K…………………………7分
．………………………………………8分
從而求的最大值轉化為求的最大值．………………………9分
因為是橢圓上的任意一點，設，……………………………10分
所以，即．…………………………11分
因為點，所以．……………12分
因為，所以當時，取得最大值12．……………13分
所以的最大值為11．……………………………14分
方法2：設點，
因為的中點坐標為，所以 …………………………6分
所以……………………7分


．……………………………9分
因為點在圓上，所以，即．…………10分
因為點在橢圓上，所以，即．………………11分
所以．……………………………12分
因為，所以當時，．…………………14分
方法3：①若直線的斜率存在，設的方程為，……………6分
由，解得．………………………7分
因為是橢圓上的任一點，設點，
所以，即．…………………8分
所以 ………9分
所以．
………10分
因為，所以當時，取得最大值11．……………11分
②若直線的斜率不存在，此時的方程為，
由，解得或．
不妨設，，．……………………5u…………………12分
因為是橢圓上的任一點，設點，
所以，即．
所以，．
所以．
因為，所以當時，取得最大值11．………13分
綜上可知，的最大值為11．…………………………………14分