Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業用地中規劃出一個高科技工業園區（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業園區的最大面積．

Answer 1

分析：先以A為原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系得到A、F、E、C的坐標．設出拋物線的解析式把F坐標代入可求出，根據坐標EC所在直線的方程，設出P的坐標表示出PQ、QE、PR，利用梯形的面積公式表示出S，求出S′=0時的值來討論S的增減性得到S的最大值即可．

解答：解：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖，
則A（0，0），F（2，4），
由題意可設拋物線段所在拋物線的方程為y=ax²（a＞0），
由4=a×2²得，a=1，
∴AF所在拋物線的方程為y=x²，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直線的方程為y=x+4，
設P（x，x²）（0＜x＜2），
則PQ=x，QE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴工業園區的面積S=

1

2

(4-x2+4+x-x2)•x=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2），
∴S'=-3x²+x+4，令S'=0得x=

4

3

或x=-1（舍去負值），
當x變化時，S'和S的變化情況如下表：

由表格可知，當x=

4

3

時，S取得最大值

104

27

．
答：該高科技工業園區的最大面積

104

27

．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，以及會利用導數求閉區間上函數最值的能力．