Question

（04年福建卷文）（14分）

已知f(x)=在區間[－1，1]上是增函數.

（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）f＇(x)=4+2  ∵f(x)在[－1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(x)=x²－ax－2，

方法一：

①      －1≤a≤1，

∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

①  或

       0≤a≤1         或   －1≤a≤0

       －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由

∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=－2，

從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

②    g(－1)=m²－m－2≥0且g(1)=m²+m－2≥0，

               

m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

②  m>0， g(－1)=m²－m－2≥0   或m<0，g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.