Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

6

，點E是棱PB的中點．
（1）求直線AD與平面PBC的距離；
（2）若AD=

3

，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先根據AD∥BC，推斷出AD∥平面PBC，進而可知直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離，根據PA⊥底面ABCD，判斷出PA⊥AB，知△PAB為等腰直角三角形，又點E是棱PB的中點，進而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD內的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，從而AE⊥平面PBC，進而可推斷出AE之長即為直線AD與平面PBC的距離．Rt△PAB中，根據PA和AB求得AE．
（2）過點D作DF⊥CE，過點F做FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，從而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，進而可知CE=CD推斷出△CDE為等邊三角形，求得DF，因為AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，從而求得FG，且G點為AC的中點，連接DG，則在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離，
因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB為等腰直角三角形，
又點E是棱PB的中點，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD內的射影，
由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，從而AE⊥平面PBC，
故AE之長即為直線AD與平面PBC的距離，
在Rt△PAB中，PA=AB=

6

，
所以AE=

1

2

PB=

1

2

PA2+AB2

=

3

（2）過點D作DF⊥CE于F，過點F做FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，
故AD⊥AE，從而DE=

AE2+AD2

=

6

在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=

6

，由CD=

6

，
所以△CDE為等邊三角形，故F為CE的中點，且DF=CD•sin

π

3

=

3 2

2

因為AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=

1

2

AE，
從而FG=

3

2

，且G點為AC的中點，連接DG，則在Rt△ADC中，DG=

1

2

AD 2+CD2

=

3

2

，
所以cos∠DFG=

DF2+FG2-DG2

2DF•FG

=

6

3

點評：本題主要考查了點，線，面的距離計算．在求兩面角問題時關鍵是找到兩個面的平面角．