Question

【題目】已知橢圓：（）的左焦點為，其中四個頂點圍成的四邊形面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，設的中點為，，兩點為橢圓上關于原點對稱的兩點，且（），求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)4

【解析】

（1）將四邊形面積表示為的代數式，結合焦點坐標，聯立方程組，求解即可；

（2）設出直線的方程，利用弦長公式求得，再利用，建立直線與之間的聯系，再利用點到直線的距離，以及面積公式，將四邊形面積表示為函數形式，求該函數的最小值即可.

（1）因為左焦點為，故可得；

因為四個頂點圍成的四邊形面積為，故可得.

聯立，

解得

故橢圓方程為.

（2）因為，故兩點不可能重合，

則直線的斜率不可能為0，

故可設直線方程為，

聯立橢圓方程，

可得，

設兩點坐標分別為，

則可得，

則

故可得，

因為，故可得四點共線，

故可得.

不妨設直線方程為，，

聯立直線與橢圓方程

可得，

設，

則，即

則，即

則點到直線的距離為：

將代入上式即可得：

，，

故

又根據弦長公式可得：

故四邊形面積

，

因為，故可得，

當且僅當時，四邊形面積取得最小值4.

故四邊形面積的最小值為.