Question

已知f（x）是定義域為R的奇函數，對于任意a，b∈R且當a+b≠0時，都滿足

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）求證：f（x）在R上是的增函數；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性的定義即可證明f（x）在R上是的增函數；
（2）利用函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0進行轉化，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）不妨設x₁＜x₂，由

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
又f（x）是定義域為R的奇函數，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
而x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數．
（2）∵f（x）是奇函數，
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0?f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函數，
∴對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立
即mt²+1＞mt-1對任意的t∈R恒成立
即mt²-mt+2＞0對任意的t∈R恒成立．
當m=0時，不等式即為2＞0恒成立，合題意； 
當m≠0時，有

m＞0 △=m2-8m＜0

，
即0＜m＜8
綜上：實數m的取值范圍為0≤m＜8．

點評：本題主要考查函數單調性與奇偶性的應用，綜合考查函數性質的綜合應用．