Question

（2012•嘉定區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=lg（1+

1

x

），點(diǎn)A_n（n，0）（n∈N*），過(guò)點(diǎn)A_n作直線x=n交f（x）的圖象于點(diǎn)B_n，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．記θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1（n∈N*），化簡(jiǎn)求和式S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=

lg（n+2）-lg2

．

Answer 1

分析：確定A_n（n，0），B_n+1（n+1，lg(1+

1

n+1

)），求出tanθ_n，利用裂項(xiàng)法求和，即可得到結(jié)論．

解答：解：由題意點(diǎn)A_n（n，0）（n∈N^*），過(guò)點(diǎn)A_n作直線x=n交f（x）的圖象于點(diǎn)B_n，
∴A_n（n，0），B_n+1（n+1，lg(1+

1

n+1

)）
∵θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1，
∴tanθ_n=

lg(1+ 1 n+1 )-0

(n+1)-n

lg(1+

1

n+1

)=lg（n+2）-lg（n+1）
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=lg3-lg2+lg4-lg3+…+lg（n+2）-lg（n+1）=lg（n+2）-lg2
故答案為：lg（n+2）-lg2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查裂項(xiàng)法求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．