Question

【題目】已知拋物線：，過點的直線交于，兩點，過點，分別作的切線，兩切線相交于點.

（1）記直線，的斜率分別為，，證明：為定值；

（2）記的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設，的坐標分別為，，利用導數的幾何意義知，，聯立直線與拋物線的方程結合韋達定理可得結果；

（2）首先得出切線，的方程，求出，點到直線的距離，由三角形面積公式結合二次函數的性質得結果.

（1）證明：因為，兩點在曲線上，故設，的坐標分別為，.

因為，所以，則，.

設直線的斜率為，則其方程為，由得，

，，，

所以，所以為定值.

（2）解：設點坐標為，

由（1）知切線的方程為①

切線的方程為②，

①②得；

①②得.

由（1）知，，所以點坐標為，

所以.

因為點到直線的距離.

所以.

因為，所以當時，的最小值為.