Question

【題目】已知函數f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x，求a，b的值；
（2）若a≥1，證明：x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 都有 ＞14成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導f′（x）= +2x+6a，

由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x，則 ，

解得： 或 ，

則a，b的值0，1或﹣ ，

（2）解：證明：①當x1＜x2時，則x2﹣x1＞0，欲證：x1，x2∈（0，+∞），都有 ＞14成立，

只需證x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立，

只需證x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，

構造函數h（x）=f（x）﹣14x，則h′（x）=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，則h′（x）=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴h（x）在（0，+∞）內單調遞增，則h（x2）＞h（x1）成立，

∴f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，則 ＞14成立；

②當x1＞x2時，則x2﹣x2＜0，

欲證：x1，x2∈（0，+∞），都有 ＞14成立，

只需證x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立，

只需證x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，

構造函數H（x）=f（x）﹣14x，則H′（x）=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，則H′（x）=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴H（x）在（0，+∞）內單調遞增，則H（x2）＜H（x1）成立，

∴ ＞14成立，

綜上可知：x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有 ＞14成立

【解析】（1）求導，由題意可知 ，即可求得a，b的值；（2）利用分析法，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性即可求得結論．