Question

設f（x）=

x

，g（x）=-x+a（a＞0）
（1）若F（x）=f（x）+g（x），試求F（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）設G（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) {g(x)，f(x)＜g(x)

，試求a的值，使G（x）到直線x+y-1=0距離的最小值為

2

；
（3）若不等式|

f(x)+a[g(x)-2a]

f(x)

|≤1對x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出F（x）=f（x）+g（x），的解析式，是一個關于

x

的二次函數，對其配方后再由二次函數的性質研究其單調性，求出單調區(qū)間；
（2）根據G（x）的解析式作出圖象的示意圖，根據幾何意義判斷出G（x）圖象上的點到直線x+y-1=0距離的最小值在點P處取到，由此建立起距離最小值的方程，求出a的值；
（3）不等式|

f(x)+a[g(x)-2a]

f(x)

|≤1對x∈[1，4]恒成立，可通過等價變形逐步探究得出

a(2+ a 2 ) ≤2 a(1+a)≤2 a＞0

，解出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵F（x）=f（x）+g（x）=-x+

x

+a=-（

x

-

1

2

）²+a+

1

4

，
易得當

x

≥

1

2

，即x∈[

1

4

，+∞）時，F(xiàn)（x）單調遞減
即函數的單調遞減區(qū)間是[

1

4

，+∞）
（2）G（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) {g(x)，f(x)＜g(x)

，其圖象如圖，
由圖象得，所求的最小值即為點P到直線的距離，亦即兩平行線x+y-1=0與x+y-a=0之間的距離
由

|a-1|

2

=

2

，且a＞1，得a=3
（3）由|

f(x)+a[g(x)-2a]

f(x)

|≤1得|

x  -a(x+a)

x

| =|1-a(

x

+

a

x

)|≤1
即-1≤1-a(

x?

+

a

x?

)≤1
即0≤a(

x?

+

a

x?

)≤2對x∈[1，4]恒成立
當x=1，x=4分別代入得

a(2+ a 2 ) ≤2 a(1+a)≤2 a＞0

解得0＜a≤2

2

-2

點評：本題考查函數最值的應用，解題的關鍵是判斷出函數最值的位置及利用函數的最值建立方程求參數，函數最值是函數一個重要的性質，其題型一般有判斷最值求最值，及利用最值建立方程求參數，函數最值考查的題型也是高考中的覺題型，要注意積累函數最值的判斷方法及函數最值的用法，本題綜合性強，較抽象，解題時轉化要嚴謹，運算認真