Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(

2

，

6

2

)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（ⅰ）設直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

（1）由題意得2c=2，∴c=1，又

2

a2

+

3

2b2

=1，a²=b²+1．
消去a可得，2b⁴-5b²-3=0，解得b²=3或b2=-

1

2

（舍去），則a²=4，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）（ⅰ）設P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），則k1=

y0

2

，k2=

y1

x1-2

，
∵A，P，M三點共線，∴y0=

4y1

x1+2

，∴k1k2=

y0y1

2(x1-2)

=

4y12

2( x 21 -4)

，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，∴

y

21

=

3

4

(4-

x

21

)，故k1k2=

4y12

2( x 21 -4)

=-

3

2

為定值．
（ⅱ）直線BP的斜率為k2=

y1

x1-2

，直線m的斜率為km=

2-x1

y1

，
則直線m的方程為y-y0=

2-x1

y1

(x-2)，y=

2-x1

y1

(x-2)+y0=

2-x1

y1

x-

2(2-x1)

y1

+

4y1

x1+2

=

2-x1

y1

x+

2(x12-4)+4 y 21

(x1+2)y1

=

2-x1

y1

x+

2(x12-4)+12-3 x 21

(x1+2)y1

=

2-x1

y1

x+

2-x1

y1

=

2-x1

y1

(x+1)，
即y=

2-x1

y1

(x+1)．
所以直線m過定點（-1，0）．