Question

若實數a，b，c，d滿足（b-a³+2lna）²+（c-d-2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、8

Answer 1

分析：由題意b-a³+2lna=0，設b=y，a=x，得y=x³-2lnx；c-d-2=0，設c=x，d=y，得y=x+2；（a-c）²+（b-d）²應是曲線y=x³-2lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：根據題意，得

b-a3+2lna=0…① c-d-2=0…②

，
①中，設b=y，a=x，則y=x³-2lnx，（x＞0）；
②中，設c=x，d=y，則y=x+2；
∴（a-c）²+（b-d）²是曲線y=x³-2lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值；
對曲線y=x³-2lnx求導，得y'（x）=3x²-

2

x

，
與y=x+2平行的切線斜率k=1=3x²-

2

x

，即3x³-x-2=0；
解得x=1，此時y=1；
∴切點（1，1）到直線y=x+2的距離為
d=

|1-1+2|

2

=

2

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值是d²=2．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數的性質求最小值的問題，解題的關鍵是把所求的結論轉化為可解答的曲線上的點到直線的最小距離問題，是難題．